Hur räknar man ut ett träddiagram
•
Genom att leta reda på den gren som motsvarar det önskade utfallet kan vi beräkna sannolikheten för just den kombination av utfall som motsvarar grenen. Den gör vi med hjälp av multiplikationsprincipen.
Multiplikationsprincipen
Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren ges av produkten av sannolikheterna längs grenen.
Vi tittar på ett exempel där detta kan tillämpas.
Exempel 1
Kasta en tärning fyra gånger. Hur stor är sannolikheten att få en sexa alla fyra kasten?
Lösning
Det finns bara ett resultat som du önskar varje kast. Nämligen att tärningen ska visa en sexa. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet. Det finns alltså ett gynnsamt utfall i varje kast.
De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta, två trea fyra femma eller en sexa.
Sannolikheten blir då
$P\left(\text{slå en sexa}\right)=$(slå en sexa)=$\frac{\text{Önskad händelse}}{\text{Möjliga händelser}}=\frac{1}{6}$Önskad händelseMöjliga händelser=16
Med hjälp av ett träddiagram kan vi förtydliga sannolikheten av att få fyra sexor i rad.
Som du ser blir det en ganska komplext träddiagram. Man
•
Träddiagram
När det gäller beroende samt oberoende sannolikheter, handlar detta ofta angående sannolikheter likt sker inom följd. inom dessa fall är detta lämpligt för att använda träddiagram. I varenda steg markerar vi sannolikheterna för respektive händelse.
Räkneregler på grund av träddiagram
1. Sannolikheten för enstaka gren (ett utfall) inom ett träddiagram är lika med produkten av sannolikheterna längs grenen. Kallas multiplikationsprincipen.
2. Sannolikheten på grund av en incident är summan av sannolikheterna för dem olika grenarna (utfallen) inom ett träddiagram som ingår i händelsen.
Vi betraktar nästa diagram till att förklara räknereglerna. \(P(\text{händelse}_1)=p_1\), \(P(\text{händelse 2 som följer händelse}_1) = p_2\), resten markerat inom trädet. \(p_1\) kan tex vara \(P(\text{träffa skott 1})\), och \(p_2\) \(P(\text{träffa ny tillväxt 2, självklart träff skott1})\) osv.
1. Multiplikationsprincipen längs ett trädgren innebär att \(p_1\) och \(p_2\) kan multipliceras för för att bilda \(P(A)=p_1\cdot p_2\), även i dem fall händelsen 2 beror av händelsen 1.
Vidare existerar \(P(B)=p_1\cdot(1-p_2)\); \(P(C)= (1-p_1)\cdot p_2\); \(P(D)=(1-p_1)\cdot(1-p_2)\).
2. T ex \(P(\text{en träff})=P(B\;eller\;C)=P(B)+P(C)=p_1\cdot
•
När du beräknar sannolikheter så är det viktigt att känna till skillnaden på beroende och oberoende händelser.
En oberoende händelser är inte beroende av tidigare utfall (resultat). Vanliga exempel på oberoende händelser är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. En beroende händelse är istället beroende av resultatet på tidigare händelser. Vanliga exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Beroende på resultatet av tidigare händelser kan det exempelvis finnas färre kort totalt i en kortlek eller mindre av en viss sorts kort.
Exempel 2
I en brun godispåse ligger röda och lila godisbitar. Du plockar ut $3$3 stycken godisar. Hur stor är sannolikheten att alla godisar är lila om det finns $12$12 röda och $8$8 lila godisbitar?
Lösning
Här kan vi rita ut ett träddiagram för att visualisera alla möjliga vägar. Då det endast är röda godisar vi &#;vill ha&#; så skriver vi bara ut sannolikheterna längs den grenen där det inträffar. Från början finns det $12+8=20$12+8=20 godisar i påsen.
Här är händelserna beroende av varandra så antalet röda godisar minskar och även antalet totala godisar minskar för